Η ικανοποίηση του Γκαλουά

Δημιουργός: ii2ms

Εκτύπωση από: http://www.stixoi.info

Η επέκταση των πεδίων Ο(α, β, γ) πάνω στο Ο(α+β+γ, αβ+αγ+βγ, αβγ)
είναι μιά επέκταση του Γκαλουά με ομάδα Γκαλουά Σ3.
Θέλουμε να βρούμε τις τιμές α, β, γ υπό όρους αυτούς των συμμετρικών πολυωνύμων στα α, β, γ.
Ψάχνουμε για απλούστερες υποεπεκτάσεις.

Από τη θεωρία του Γκαλουά αυτές αντιστοιχούν στα σταθερά πεδία υποομάδων του Σ3.
Αν ψάχνουμε για το σταθερό πεδίο Κ του Α3 μέσα στο Σ3
ψάχνουμε για στοιχεία σταθεροποιημένα από την πράξη της αναδιάταξης τ:=(123).
Οποιοδήποτε τέτοιο στοιχείο υ όχι εντός του Ο
θα ικανοποιήσει την ιδιότητα οτι υ/τ(υ)=ω
όπου ω μιά κυβική ρίζα του 1.
Τότε, από την απόδειξη του θεωρήματος Χίλμπερτ 90,
μπορούμε να βρούμε ένα τέτοιο στοιχείο υ
και να το πάρουμε σα να είναι υ:=α+ωβ+ω^2γ,
καθώς εύκολα επιβεβαιώνεται οτι ικανοποιεί το υ/τ(υ)=ω.

Κάποιος μπορεί να επιβεβαιώσει οτι το υ είναι ένας γεννητής του Ο(α, β, γ)
πάνω στο Ο(α+β+γ, αβ+αγ+βγ, αβγ)
επειδή δεν σταθεροποιείται από καμμία αναδιάταξη των α, β, γ.
Έτσι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το οτι το σταθερό πεδίο του Α3 είναι μια δευτεροβάθμια επέκταση
για να λύσουμε για υ και να χρησιμοποιήσουμε
το οτι το Ο(α, β, γ) πάνω στο Κ είναι κυκλικό βαθμού 3
για να λύσουμε για υ (παίρνοντας την τρίτη ρίζα).
Εφόσον το υ γεννάει το Ο(α, β, γ) πάνω στο Ο(α+β+γ, αβ+αγ+βγ, αβγ)
μπορούμε να λύσουμε για α, β, γ υπό όρους του υ.

Κάποιος μπορεί να ρωτήσει γιατί το Α3 ήταν η φυσιολογική υποομάδα να επιλέξουμε.
Πράγματι αν ψάχνουμε για μιά κανονική υποομάδα του Σ3
μπορούμε να πάρουμε τον αντιμεταθετή [Σ3, Σ3]=Α3.
Οι άλλες μη-απλοϊκές ορθές υποομάδες είναι ισομορφικές του Ζ/2Ζ και δεν μπορεί κάποια να επιλεγεί κανονικά καθώς υπάρχουν τρεις τέτοιες
που είναι όλες συζευγμένες.

Δημοσίευση στο stixoi.info: 16-10-2019